Integrali: Esercizi svolti sugli integrali
Negli articoli precedenti abbiamo analizzato in larga misura la parte teorica del calcolo integrale.
( Vedi Integrale: Cos’è l’integrale )
In particolar modo nell’articolo Integrali indefiniti: esempi e esercizi svolti abbiamo iniziato a vedere come i risultati degli integrali indeifiniti fondamentali, quelli da cui partono tutte le operazioni con gli integrali.
Ma gli esercizi??
Questo articolo contiene tanti esempi di esercizi svolti sugli integrali:
- Indefiniti: non hanno apici e il risultato vuole sempre l’aggiunta della costante c
- Definiti: sono ristretti ad un intervallo determinato, quindi non viene sommata la costante c.
Gli esercizi sono guidati e contengono tutti i passaggi.
Iniziamo con l’esaminare gli esercizi svolti integrali indefiniti.
Esercizi svolti sugli integrali indefiniti
- Integrale di una frazione: integrale di 1/x^2
$$ \int {1\over {x^2}} \,dx $$
Per poter svolgere questo integrale occorre ricordare due cose importanti:
- Proprietà delle potenze: La frazione 1/x^n si può scrivere come x^(n-1). Questa proprietà vale anche nel senso opposto, nel passare dalla potenza con esponente negativo alla frazione.
$$ {1\over{x^n}} = {x^{n-1}} $$
- Integrale di una potenza: l’integrale di una potenza si ottiene elevando l’incognita al suo esponente sommato ad 1, tutto diviso l’esponente +1.
$$ \int {x^n } \,dx = {x^{n+1}\over {n+1}} +c $$
Quindi, applicando queste due regole e svolgendo opportunamente i calcoli otteniamo:
$$ \int {1\over {x^2}} \,dx = \int {x^{-2}} \,dx = {{x^{-2+1}\over {-2+1}}} +c = {{x^{-1}\over {-1}}} +c = – {1\over {x}} +c $$
- Integrale di una radice: integrale di radice di x
$$ \int {\sqrt{x}} \,dx $$
Questo integrale di primo acchitto potrebbe sembrare abbastanza facile…
In realtà non è eccessivamente complesso, tuttavia bisogna svolgere opporunamente i calcoli per giungere al risulato corretto.
Ricordiamo anche in questo caso alcuni aspetti fondamentali:
- La scrittura radice di x può anche essere resa x^(1/2)
$$ \sqrt{x}= x^{1/2} $$
- L’integrale di una potenza x^n è [(x^ (n + 1)) / (n + 1)] + c
$$ \int {x^n } \,dx = {x^{n+1}\over {n+1}} +c $$
- Un numero elevato ad un esponente frazionario può essere ricondotto sempre ad una radice. Ad esempio:
$$ x^{3/2} = x\sqrt{x} $$
Detto tutto questo possiamo sviluppare l’integrale:
$$ \int {\sqrt{x}} \,dx = \int x^{1\over2} \,dx = {{x^{{1\over2}+1}\over{{1\over2}+1}}} +c = {x^{3\over2}\over {3\over2}} +c = {2\over3}{x^{3\over2}} +c ={2\over 3}{x\sqrt{x}} +c $$
- Integrale di una frazione con la radice: integrale di 1/radice cubica di x
$$ \int {1\over\sqrt[3]{x}} \,dx $$
Anche in questo esercizio diamo qualche suggerimento:
- La radice cubica di x può anche essere scritta come x^1/3
$$ \sqrt[3]{x} = {x^{1\over3}} $$
- La frazione di 1/radice cubica di x può essere scritto come x^-1/3
$$ {1\over\sqrt[3]{x}} = x^{-{1\over3}} $$
- Ricordiamo infine quanto detto per il punto precedente riguardo l’integrale di una potenza e il fatto che un numero elevato ad un esponente frazionario può essere ricondotto sempre ad una radice.
Possiamo quindi calcolare questo integrale:
$$ \int {1\over\sqrt[3]{x}} \,dx = \int x^{-{1\over3}} \,dx = {{x^{-{1\over3}+1}\over{-{1\over3}+1}}} +c = {x^{2\over3}\over {2\over3}} +c = {3\over2}{x^{2\over3}} +c = {3\over 2}{\sqrt[3]{x^2}} +c $$
Per la teoria sugli integrali vedi l’articolo Integrale: Cos’è l’integrale
Per altre dritte sugli integrali indefiniti vedi Integrali indefiniti: esempi e esercizi svolti