Cari lettori e amanti della matematica, oggi ci avventuriamo nello studio di una funzione razionale interessante: y=(x+1)/(x−1). Tramite un’analisi dettagliata, esploreremo le varie caratteristiche di questa funzione, offrendo intuizioni chiare e passaggi precisi. Cominciamo!
1. Dominio:
Il dominio della funzione è determinato dai valori di x per cui la funzione è definita. Nel nostro caso, la funzione non è definita quando il denominatore è zero: x+1=0⟹x=−1
Pertanto, il dominio è: $$ D(f)=R∖{−1} $$
2. Intersezione con l’asse y:
Per trovare l’intersezione con l’asse y, sostituisci x=0 nella funzione: y=0+10−1=−1 L’intersezione con l’asse y è il punto P(0,−1).
3. Intersezione con l’asse x:
Impostando y=0, otteniamo: (x+1)/(x−1)=0 Ciò implica x−1=0 o x=1. L’intersezione con l’asse x è P(1,0).
4. Studio del segno:
Dividendo l’asse delle x in intervalli rispetto ai punti -1 e 1 e analizzando il segno della funzione in questi intervalli, si scopre che la funzione è:
- Positiva in (−∞,−1)(−∞,−1)
- Negativa in (-1, 1)
- Positiva in (1, ∞)
5. Asintoti verticali:
La funzione ha un asintoto verticale in x=−1 poiché il denominatore si annulla in quel punto e il numeratore non lo fa.
6. Asintoti orizzontali:
Per determinare gli asintoti orizzontali, esaminiamo i limiti della funzione mentre x tende a +∞ e −∞. In entrambi i casi, il limite tende a 1. Quindi, y=1 è un asintoto orizzontale.
7. Asintoti obliqui:
Dato che la funzione ha un asintoto orizzontale, non avrà asintoti obliqui.
8. Studio della derivata prima:
Derivando y rispetto a x, otteniamo: y′=2/(x+1)2. Dal segno della derivata, vediamo che la funzione è crescente su tutto il suo dominio.
9. Studio della derivata seconda:
Derivando ancora, abbiamo: y′′=−4/(x+1)3 Poiché la derivata seconda è negativa su tutto il dominio (escludendo x=-1), la funzione è concava verso il basso ovunque.
10. Grafico risolutivo:
Usando tutte le informazioni raccolte, è possibile disegnare un grafico accurato della funzione. Mostrerà una curva che attraversa l’asse x in x=1, ha un asintoto verticale in x=-1, e si avvicina all’asintoto orizzontale y=1 per x→±∞.
Grafico elaborato da https://www.geogebra.org/
Conclusione: Attraverso questo studio dettagliato, abbiamo svelato la natura e le caratteristiche della funzione y=(x+1)/(x−1). La bellezza della matematica risiede nella sua capacità di rivelare le strutture nascoste dietro semplici equazioni, offrendo una profonda comprensione del mondo che ci circonda. Continuate a seguirci per altre entusiasmanti avventure matematiche!
Nella pagina sono presenti link di affiliazione su cui si ottiene una piccola quota dei ricavi, senza variazioni dei prezzi.