La matematica è ricca di funzioni affascinanti che descrivono i più svariati fenomeni, dalle traiettorie dei proiettili alla crescita delle popolazioni. Una delle funzioni più basilari e potenti è la funzione quadratica. In questo articolo, studieremo in modo approfondito la funzione (y = 2x^2 – 4x + 3).
1. Forma e Terminologia
La funzione data è una funzione quadratica, ovvero una funzione polinomiale di secondo grado. La sua forma generica è $$ y = ax^2 + bx + c $$, dove a, b e c sono coefficienti.
Nel nostro caso:
- a = 2
- b = -4
- c = 3
2. Concavità e Vertice
La concavità della parabola è determinata dal coefficiente a:
- Se a > 0, la parabola è concava verso l’alto.
- Se a < 0, la parabola è concava verso il basso.
Per la nostra funzione, (a = 2 > 0), quindi la parabola è concava verso l’alto.
Il vertice della parabola è dato da:
$$ V\left(\frac{-b}{2a}, c – \frac{b^2}{4a}\right) $$
Sostituendo i valori, otteniamo:
$$ V\left(1, 1\right) $$
3. Intersezioni con gli Assi
Asse y:
Quando x = 0, y = c. Pertanto, l’intersezione con l’asse y è il punto (0,3).
Asse x (Zeri o Radici):
I punti in cui la funzione interseca l’asse x sono dati dalla soluzione dell’equazione
$$2x^2 – 4x + 3 = 0$$
Questa può essere risolta utilizzando il metodo di risoluzione delle equazioni quadratiche, la formula quadratica o la fattorizzazione. Nel nostro caso, le soluzioni sono:
$$ x_1 = 0.5 \text{ e } x_2 = 3 $$
4. Studio della Funzione
Analizzando la derivata prima f'(x) = 4x – 4, possiamo determinare dove la funzione è crescente o decrescente. La funzione cambia concavità quando f'(x) = 0, ovvero x = 1. Questo coincide con la nostra analisi del vertice.
5. Grafico
Utilizzando le informazioni raccolte, è possibile disegnare il grafico della funzione. La parabola ha il suo vertice in (1,1), è concava verso l’alto e interseca l’asse x nei punti (0.5,0) e (3,0), e l’asse y nel punto (0,3).
Grafico elaborato da https://www.geogebra.org/
Conclusione
La funzione quadratica y = 2x^2 – 4x + 3 è un esempio concreto di come una semplice espressione matematica possa raccontare una storia completa attraverso il suo grafico. Attraverso lo studio dettagliato di queste funzioni, possiamo interpretare, prevedere e comprendere una vasta gamma di fenomeni naturali e artificiali.
Vedi Guida completa allo studio di funzione