Dopo aver esplorato le equazioni esponenziali elementari, ora ci concentreremo su una categoria particolare di equazioni esponenziali, quelle riconducibili alla forma $$ a^{f(x)} = a^{g(x)} $$
Caratteristiche e Svolgimento:
Un’equazione esponenziale si dice riconducibile a questa forma quando, pur avendo l’incognita nell’esponente di entrambi i membri, le basi delle potenze sono uguali. In tal caso, è possibile ‘eliminare’ le basi uguali e lavorare direttamente sugli esponenti.
Per essere più precisi, se abbiamo un’equazione della forma $$a^{f(x)} = a^{g(x)}$$ e $$a > 0$$ $$a \neq 1$$ allora possiamo affermare che $$f(x) = g(x)$$
Esempio 1:
Consideriamo l’equazione $$ 2^{(3x+1)} = 2^{(x-2)} $$
Poiché le basi delle due potenze sono uguali (entrambe 2), possiamo dedurre che gli esponenti devono essere uguali, quindi abbiamo:
$$ 3x + 1 = x – 2 $$
Risolvendo questa equazione otteniamo $$ x = -\frac{3}{2} $$
Esempio 2:
Esaminiamo l’equazione $$ 5^{(2x+3)} = 5^{(4x-1)} $$
Analogamente al caso precedente, deduciamo che:
$$ 2x + 3 = 4x – 1 $$
Risolvendo, otteniamo $$ x = 2 $$
Considerazioni Importanti:
- Questa tecnica funziona solo quando le basi delle potenze sono uguali e positive, e diverse da 1.
- Dopo aver ‘eliminato’ le basi e aver eguagliato gli esponenti, si ottiene un’equazione di primo grado, che può essere risolta utilizzando metodi algebrici standard.
- Se, una volta risolta l’equazione ottenuta, si sostituiscono i valori trovati nell’equazione originaria e non si verifica l’uguaglianza, allora quei valori sono soluzioni estranee e vanno scartate.
Caso Particolare: Basi Diverse e Esponenti Uguali
Un’ulteriore situazione da considerare è quando abbiamo equazioni del tipo $$ a^x = b^x $$ con $$ a \neq b $$ In questo caso, l’equazione ha soluzione solo per x = 0, poiché ogni numero elevato a 0 è uguale a 1.
Nel prossimo articolo, esploreremo le equazioni esponenziali riconducibili a equazioni elementari mediante sostituzioni. Restate sintonizzati!
Vedi anche Equazioni esponenziali svolte