Equazioni esponenziali
Equazioni esponenziali: una equazione si dice esponenziale quando l’incognita compare nell’esponente di almeno una potenza.
Prima di vedere equazioni esponenziali svolte, soffermiamoci un momento su alcune nozioni fondamentali del calcolo esponenziale:
-
Potenza con esponente 0
$$ {a^0} = 1 $$
- Potenza con esponente 1
$$ {a^1} = a $$
- Potenza con esponente un numero intero negativo
$$ a^{-{m}} =\left( {1\over {a}}\right)^m $$
- Potenza con esponente un numero razionale
$$ a^{m\over{n}} = \sqrt[n]{a^m} $$
Equazioni esponenziali svolte
Dopo aver esaminato delle nozioni fodamentali e necessarie per il calcolo corretto degli esponenziali, possiamo ora dedicarci alle equazioni esponenziali vere e proprie.
Le divideremo in sezioni per semplificarne l’analisi e aiutarvi a ricordare il diverso svolgimento di ciascuna categoria di equazioni.
Equazioni esponenziali elementari
La più semplice delle equazioni esponenziali è sicuramente l’equazione esponenziale elementare.
Si presenta nella seguente forma:
$$ {a^x} = b $$
Affinchè ci sia un’equazione esponenziale elementare è necessario che
- a > 1
- a ≠ 1
- L’equazione non ha soluzioni se b ≤ 0
- L’equanzione ha una e una sola soluzione se b > 0
Facciamo qualche esempio:
$$ {3^x} = 9 $$
Questa equazione ha una sola soluzione: x = 2
$$ \left( {1\over {2}}\right)^x = 2 $$
Anche questa equazione ha un’unica soluzione: x = -1
$$ {7^x} = -2 $$
Questa equazione non ha soluzioni.
Infatti una potenza con base positiva, come è 7^x, è sempre positiva, qualsiasi valore si attribuisca all’esponente.
Facciamo un ultimo esempio.
$$ {5^x} = 0 $$
Questa equazione non ha soluzioni.
Questo perchè una potenza con una base diversa da zero non può mai essere nulla.
Quindi non esiste nessun valore di x per cui 5^x da come risultato 0.
Ricordiamo infatti che se diamo a x valore 0, 5^0 da come risultato 1, non 0!
Ci sono altre tre tipologie di equazioni esponenziali:
- Equazioni riconducibili alla forma a^f(x) = a^g(x)
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Equazioni riconducibili a equazioni elementari mediante sostituzioni
- Altri tipi di equazioni esponenziali
Queste categorie saranno prese in considerazione nei prossimi articoli.