Cos’è l’integrale?
Quello di integrale è uno dei concetti più ostici per chi si cimenta nello studio della matematica.
Questo avviene solitamente perché si cerca di capire subito il metodo di risoluzione delle diverse tipologie di integrali, senza curarsi di approfondire in anticipo la teoria che vi è dietro.
Quello che mi propongo di fare con questo articolo è quello di spiegare in maniera semplice, ma allo stesso tempo esaustiva, il concetto fondamentale di integrale, abbinando alla descrizione immagini che chiariscano la spiegazione.
Nei prossimi articoli approfondirò i principali metodi di risoluzione degli integrali, partendo da Integrali fondamentali, per passare via via a integrali sempre più complessi.
Definizione di integrale definito
Iniziamo subito con la definizione classica: “l’integrale definito è l’area della figura piana delimitata dal grafico della funzione, dall’asse delle ascisse e dalle due ordinate della funzione dei due punti a e b“.
Costruzione dell’integrale mediante approssimazioni successive
Per calcolare l’area di questa figura piana, e quindi trovare il valore dell’integrale, si parte considerando il metodo delle approssimazioni successive: consideriamo due rettangoli:
- uno che ha base di lunghezza ab e altezza pari ad f(a), che quindi rientra perfettamente nella figura piana (approssimazione per difetto)
- uno che ha sempre base di lunghezza ab, ma altezza pari ad f(b), che ha quindi parte della sua area al di fuori della figura piana (approssimazione per eccesso).
- L’area secondo approssimazione per eccesso è data da:
A = M(b-a), dove M è
- L’area secondo approssimazione per difetto è data da:
A = m(b-a), dove m è
Somme parziali approssimazioni
Se consideriamo tanti rettangolini di altezze e basi variabili per approssimazione per eccesso, in cui gli intervalli non sono equi-spaziati, allora otteniamo:
Se consideriamo tanti rettangolini di altezze e basi variabili per approssimazione per difetto, in cui gli intervalli non sono equi-spaziati, allora otteniamo:
Conclusione
Comunque, sia che consideriamo il metodo di approssimazione per eccesso o per difetto non riusciamo a calcolare con esattezza l’area sottesa alla curva.
Questo avviene perché non esistono figure geometriche classiche che ci permettono di dividere l’area della figura in tantissime parti e darci una misura soddisfacente.
Dato questo assunto, l’unico modo per poter calcolare con esattezza l’area della figura piana delimitata dal grafico della funzione, dall’asse delle ascisse e dalle due ordinate della funzione dei due punti a e b, dobbiamo dividere quest’area in infinite parti.
L’unico strumento che ci permette di calcolare questa somma di elementi infinitesimali è l’integrale.
Si legge integrale da a a b di f(x).
Nel prossimo articolo potete trovare l’analisi degli integrali fondamentali, con due tabelle riassuntive (vedi Integrali fondamentali).
In articoli successivi verranno approfonditi i metodi di risoluzione degli integrali più complessi.
Per vedere i risultati degli integrali fondamentali, base per tutti gli integrali, vedi l’articolo Integrali indefiniti: esempi e esercizi svolti
Per vedere esercizi svolti con gli integrali indefiniti vedi l’articolo Esercizi svolti integrali indefiniti