Svolgiamo lo studio completo della funzione $$ y = \sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10}} $$ passo per passo.
1. Dominio:
Per determinare il dominio della funzione, dobbiamo considerare due condizioni:
- Il radicando deve essere non negativo: $$ \frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10} \ge 0 $$
- Il denominatore deve essere diverso da zero: $$ x^2+3x-10 \ne 0 $$
Risolviamo la disequazione fratta:
- Numeratore: $$ x^2 – 1 \ge 0 $$ che ha soluzioni $$ x \le -1 \lor x \ge 1 $$
- Denominatore: $$ x^2+3x-10 > 0 $$ Le radici del polinomio sono $$ x = -5, x = 2 $$ quindi la disequazione è verificata per $$ x < -5 \lor x > 2 $$
Costruiamo la tabella dei segni:
| x < -5 | -5 < x <= -1 | -1 < x < 1 | 1 <= x < 2 | x > 2 | |
|---|---|---|---|---|---|
| x^2-1 | + | + | – | + | + |
| x^2+3x-10 | + | – | – | – | + |
| Rapporto | + | – | + | – | + |
Il rapporto è non negativo per $$ x < -5 \lor -1 \le x \le 1 \lor x > 2 $$
Inoltre, il denominatore deve essere diverso da zero, quindi $$ x \ne -5, x \ne 2 $$
Il dominio è quindi: $$ D = (-\infty, -5) \cup [-1, 1] \cup (2, +\infty) $$
2. Intersezioni con gli assi:
- Intersezione con l’asse y (x=0): Poiché x=0 non è nel dominio, non ci sono intersezioni con l’asse y.
- Intersezione con l’asse x (y=0): Dobbiamo risolvere l’equazione y = 0: $$ \sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10}} = 0 $$ Elevando al quadrato entrambi i membri e moltiplicando per il denominatore (che deve essere diverso da zero): $$ x^2 – 1 = 0 $$
$$ x^2 = 1 $$
$$ x = \pm 1 $$ Quindi, le intersezioni con l’asse x sono i punti (-1, 0) e (1, 0).
3. Studio del segno:
La funzione è una radice quadrata, quindi è sempre non negativa nel suo dominio, ovvero $$ y \ge 0 $$ per ogni $$ x \in D $$
4. Asintoti verticali:
Gli asintoti verticali possono trovarsi nei punti in cui il denominatore del radicando si annulla, quindi in $$ x=-5 $$ e $$ x=2 $$
Dobbiamo verificare i limiti:
- Per $$ x \to -5^- $$ $$ \lim_{x \to -5^-} \sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10}} = \sqrt{\frac{24}{0^+}} = +\infty $$
- Per $$ x \to 2^+ $$ $$ \lim_{x \to 2^+} \sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10}} = \sqrt{\frac{3}{0^+}} = +\infty $$
Quindi, ci sono asintoti verticali in $$ x=-5 $$ e $$ x=2 $$
5. Asintoto orizzontale:
Per trovare l’asintoto orizzontale, calcoliamo il limite di y per x che tende a più e meno infinito:
$$ \lim_{x \to \pm\infty} \sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10}} = \sqrt{\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10}} = \sqrt{\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2}} = \sqrt{1} = 1 $$
Quindi, c’è un asintoto orizzontale a y = 1.
6. Asintoto obliquo:
Poiché esiste un asintoto orizzontale, non ci può essere un asintoto obliquo.
7. Derivata prima, massimi e minimi:
Calcoliamo la derivata prima di y usando la regola della catena e la regola del quoziente:
$$ y’ = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10}}} \cdot \frac{(2x)(x^2+3x-10) – (x^2-1)(2x+3)}{(x^2+3x-10)^2} $$
$$ y’ = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10}}} \cdot \frac{2x^3+6x^2-20x – (2x^3+3x^2-2x-3)}{(x^2+3x-10)^2} $$
$$ y’ = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2+3x-10}}} \cdot \frac{3x^2-18x+3}{(x^2+3x-10)^2} $$
$$ y’ = \frac{3x^2-18x+3}{2\sqrt{x^2 – 1}(x^2+3x-10)^{3/2}} $$
Per trovare i punti stazionari, poniamo la derivata prima uguale a zero:
$$ 3x^2-18x+3 = 0 $$
$$ x^2-6x+1 = 0 $$
$$ x = 3 \pm \sqrt{8} = 3 \pm 2\sqrt{2} $$
Quindi $$ x_1 = 3 – 2\sqrt{2} \approx 0.17 $$ e $$ x_2 = 3 + 2\sqrt{2} \approx 5.83 $$ Notiamo che $$ x_1 \in [-1, 1] $$ e $$ x_2 \in (2, +\infty) $$ quindi entrambi i punti sono nel dominio.
Studiando il segno della derivata prima, si può determinare che x1 è un massimo locale con valore y = 0 e x2 è un minimo locale.
8. Grafico:
Mettendo insieme tutte le informazioni raccolte:
- Dominio: $$ (-\infty, -5) \cup [-1, 1] \cup (2, +\infty) $$
- Intersezioni con l’asse x: (-1, 0) e (1, 0)
- Segno: Sempre non negativa nel dominio
- Asintoti verticali: $$ x=-5 $$ e $$ x=2 $$
- Asintoto orizzontale: $$ y = 1 $$
- Massimo locale in $$ x = 3 – 2\sqrt{2} $$
- Minimo locale in $$ x = 3 + 2\sqrt{2} $$
Ecco il grafico:
Spero che questo studio completo sia chiaro e utile!