Integrali
Integrali… basta questa parola per mettere in crisi tantissimi studenti che si avvicinano allo studio dell’analisi di funzione.
Dietro al concetto di integrale c’è una dimostrazione articolata, ma non complessa, che abbiamo brevemente riassunto nell’articolo Integrale: Cos’è l’integrale .
In questo articolo ci concentreremo invece sullo studio degli integrali più comuni che si possono incontrare.
Iniziamo subito con il fare una precisazione:
esistono sostanzialmente due tipologie di integrali:
- gli Integrali indefiniti: non hanno apici, quindi il loro risultato non è ristretto ad un intervallo chiuso della funzione. Quando quindi si trova il risultato è necessario aggiungere alla fine una costante “c”.
- gli Integrali definiti: in un primo momento si calcolano come integrali indefiniti; quando si giunge al risultato dell’integrale indefinito, però, al posto dell’incognita si sostituiscono i due valori agli apici dell’integrale.
In questo articolo ci soffermeremo esclusivamente sugli Integrali indefiniti.
Integrali indefiniti
Iniziamo analizzando gli integrali più semplici e comuni, per passare via via a quelli più complessi.
In questo articolo non analizzeremo tutti gli integrali indefiniti.
Comunque nelle due tabelle che seguono, analizzeremo alcuni tra gli integrali più diffusi.
Questo articolo non esamina i metodi risolutivi degli integrali più complessi, ovvero quelli che si risolvono per parti o per sostituzione. Ci riserviamo di farlo in un articolo futuro.
Concentriamoci quindi sugli integrali indefiniti:
Precisazioni
Prima di iniziare bisogna fare una premessa:
L’integrale è l’operazione opposta della derivata. Quando quindi calcoliamo l’integrale di una determinata funzione f(x), e otteniamo la funzione g(x), è la stessa cosa di dire che la funzione f(x) è la derivata della funzione g(x).
Poiché la derivata di una costante c è 0, allora ogni volta che si calcola un integrale indefinito, il risultato riporta sempre anche la somma di una costante arbitraria c.
Ultima precisazione: la funzione da integrare viene sempre moltiplicata per dx o dy, a seconda dell’incognita da integrare.
Tabella 1 Integrali indefiniti
Detto questo possiamo iniziare con l’analisi:
- L’integrale di 0 è c.
$$ \int 0\,dx = +c $$
- L’integrale di 1 è x + c
$$ \int \,dx = x+c $$
- L’integrale di una potenza x^n è [(x^ (n + 1)) / (n + 1)] + c
$$ \int {x^n } \,dx = {x^{n+1}\over {n+1}} +c $$
- L’integrale di 1 / (2 √x) è √x + c
$$ \int {1\over {2\sqrt{x}}}\,dx = \sqrt{x}+c $$
Ricordiamo infatti che la derivata di √x è 1 / (2 √x). Questo esempio ci aiuta a capire che spesso, con gli integrali indefiniti, conoscere le derivate si rivela essenziale per il loro calcolo.
- L’integrale di seno (x) è – coseno (x) + c
$$ \int {sinx}\,dx = {-cosx}+c $$
- L’integrale di coseno (x) è seno (x) + c
$$ \int {cosx}\,dx = {sinx}+c $$
I segni del seno e del coseno sono esattamente invertiti rispetto alle loro derivate.
- L’integrale di 1 / coseno^2 (x) è tangente (x) + c
$$ \int {1\over{cos^2{x}}}\,dx = {tanx}+c $$
- L’integrale di 1 / seno^2 (x) è – cotangente (x) + c
$$ \int {1\over{\sin^2{x}}}\,dx = {-cotanx}+c $$
Queste sono alcune delle formule dirette di calcolo dell’integrale.
Nella tabella sottostante sono riportati tutti i casi sopra descritti, oltre ad altri che possono essere calcolati semplicemente a partire dai primi.
Tabella 2 Integrali indefiniti
Nella seconda tabella sono elencati altri integrali indefiniti.
Non li citiamo tutti come sopra per non appesantire eccessivamente l’articolo. Comunque è giusto isolare anche da qui gli integrali più comuni e significativi:
- L’integrale di 1 / (x^2 + 1) è arcotangente (x) + c.
$$ \int {1\over{x^2+1}}\,dx = {arcotanx}+c $$
Questo risaluto va tenuto bene a mente. Infatti spesso nel metodo di risoluzione dell’integrale detto ” per sostituzione ” la funzione da integrare può essere portata alla forma che abbiamo riportato, o può essere scritta come il prodotto tra due funzioni, una della quale è proprio 1 / (x^2 + 1).
- 2. L’integrale di e^x è e^x + c.
$$ \int {e^x}\,dx = e^x+c $$
Ricordiamo infatti che la derivata di e^x rimane e^x. Questo ragionamento non cambia con l’integrale che, come si è detto, è l’operazione opposta della derivata.
- 3. Infine ricordiamo che l’integrale di 1 / x è logaritmo naturale di x: ln (x)
$$ \int {1\over{x}}\,dx = log_{e} {x}+c $$
Che si può anche scrivere:
$$ \int {1\over{x}}\,dx = ln {x}+c $$
Spero che questa breve trattazione sia stata utile.
Nei prossimi articoli ci concentreremo sui metodi di risoluzione degli integrali complessi:
- Metodo per sostituzione
- Metodo per parti
Per ripassare la teoria dell’integrale vedi l’articolo Integrale: Cos’è l’integrale?
Per vedere esercizi svolti con gli integrali indefiniti vedi Esercizi svolti integrali indefiniti