Differenziale
Quando si incontrano per la prima volta gli integrali una cosa risalta subito all’occhio: la presenza dell’elemento dx : il differenziale.
Come abbiamo specifico nell’articolo Integrali indefiniti l’integrale è l’operazione opposta della derivata.
Perché allora il differenziale non appare anche nel testo della derivata?
E soprattutto…cos’è il differenziale?
Cos’è il differenziale
Per capire cos’è il differenziale dobbiamo tornare alla definizione di derivata.
(Per maggiori informazioni sulla derivata vedi Derivata: Cos’è la derivata )
Abbiamo detto che la derivata è il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale.
Stiamo quindi calcolando:
Ma cosa succede nel passaggio da x a x0?
Abbiamo detto che la retta secante cambia la propria pendenza fino a quando la retta secante viene a coincidere con la retta tangente al grafico della funzione nel punto x0.
Come si può vedere anche dal grafico, man mano che x si avvicina a x0, anche f (x) si avvicina a f (x0).
In questo passaggio la distanza tra f (x) in movimento e f (x0) varia, fino a quando f (x) viene a coincidere con f (x0) nel punto stazionario.
Possiamo dire che nel passaggio da x a x0, la retta tangente subisce un incremento.
Allora possiamo dare la seguente definizione di differenziale: incremento della retta tangente per passare da x a x0.
Calcolo del differenziale
Abbiamo spiegato cos’è il differenziale in via teorica.
Ma negli esercizi serve spesso conoscere anche il valore reale del differenziale.
Come possiamo calcolarlo?
Consideriamo le equazioni delle rette tangenti nei punti di ascissa x e in x0:
Per calcolare l’incremento della retta tangente dobbiamo sottrarre la retta in x0 alla retta in x.
Eseguiamo opportunamente i calcoli: elidiamo i termini f (x0) perché di segno opposto, e facciamo gli altri calcoli.
Alla fine ciò che rimane è il valore del differenziale.
Quindi il differenziale è il prodotto tra la derivata prima della funzione nel punto di ascissa x0 e la differenza tra i punti x e x0.