Matematica: Teorema di Torricelli-Barrow
Quando si studiano i teoremi fondamentali della matematica sicuramente capita di venire in contatto con il Teorema fondamentale dal calcolo integrale: il teorema di Torricelli-Barrow.
Il teorema non è complesso, ma richiede una serie di passaggi coordinati tra loro, che nascono dal ricorso ad altri teoremi e dall’applicazione di proprietà delle funzioni e degli integrali.
Analizziamo quindi passaggio per passaggio, facendo anche brevi cenni agli altri teoremi coinvolti.
Teorema del calcolo integrale
La tesi del teorema di Torricelli-Barrow è: La derivata della funzione integrale è la funzione integranda (in (a,b)).
Cosa significa?
Innanzitutto partiamo dalla definizione di derivata:
La derivata è il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale.
Consideriamo la funzione integrale I (x), chiamata anche funzione integranda.
Se sostituiamo nella definizione di derivata alla funzione generica f (x) la funzione integranda, otteniamo:
Dobbiamo allora calcolare il valore di questo nuovo limite.
Per farlo dobbiamo applicare una sostituzione: al posto della funzione integranda sostituiamo il suo valore, ovvero l’integrale definito da a ad x della funzione f (t).
Apportiamo quindi questa sostituzione, e il nuovo limite che ci troviamo a calcolare è il seguente:
Ora utilizziamo una proprietà del calcolo integrale: un integrale definito di estremi a e b di una funzione f (x) è uguale all’opposto dell’integrale della stessa funzione, con gli estremi invertiti.
Se scambiamo gli addendi al numeratore troviamo due integrali che hanno in comune l’estremo a, ma questo è in posizione opposta. Ciò significa che i due integrali definiti si possono sommare e formare così un integrale unico di estremi x e x0.
Applichiamo infine l’ultimo teorema della dimostrazione: teorema di Weierstrass.
Questo afferma che una funzione definita e continua in un intervallo chiuso [a;b] ammette, nell’intervallo, il suo massimo e il suo minimo assoluto.
Grazie a questo teorema possiamo riscrivere il nostro limite in questa maniera:
Conclusione
Il teorema è concluso. Abbiamo dimostrato brevemente che la derivata della funzione integrale è la funzione integranda.
Questo teorema ha molteplici applicazioni negli esercizi sugli integrali.
Nei prossimi articoli ne vedremo alcuni rilevanti.
Per saperne di più sulla definizione di integrale vedi Integrale: Cos’è l’integrale